[2016년 백석고]

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[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

[eqn: int _{-1} ^{1} {(x ^{ 3} +x)dx}]의 값은? [[eqn: 3.8]점]

③

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=][eqn: int _{} ^{} {} LEFT ( {1} over {3} x ^{3} +x-3right)dx`- int _{} ^{} {left( {1} over {3} x ^{3} -x right)dx} RIGHT .]이고
[eqn: f(0)=4]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 1]

두 곡선 [eqn: y= x ^{ 2}+3x]와 [eqn: y=2x ^{ 2}]으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [[eqn: 4.0]점]

②

① [eqn: 5]	② [eqn: { 9} over { 2}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: { 7} over { 2}]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: int _{0} ^{3} left{|x-1|`+`|x-2□`right}dx]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

원점을 지나는 다항항수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{h -> 0} {{1} over {h}} int _{x-h} ^{x+h} {eqalign{f` prime (t)dt`=4x+2 }}]를 만족할 때, [eqn: f(1)]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

직선 [eqn: y= { x} over {2 }]와 [eqn: y]축 및 두 직선 [eqn: y=1], [eqn: y=3]으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [[eqn: 4.1]점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

그림은 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x(t)]를 나타낸 그래프이다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: 0<t<7]에서 [eqn: x(t)]는 미분가능하다.) [[eqn: 4.4]점]

④

ㄱ. 출발한 지 [eqn: 3]초 후의 속도는 최대가 된다.

ㄴ. [eqn: 0<t<7]일 때, 점 P의 속도가 [eqn: 0]이 되는 순간이

[eqn: 5]번 있다.

ㄷ. [eqn: 3<t<5]일 때, 점 P는 처음 운동 방향의

반대 방향으로 움직이고 있다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=x ^{3}-2ax ^{ 2}+4ax+3]가 구간 [eqn: (- INF ,``` INF )]에서 증가하도록 하는 정수 [eqn: a]의 값의 개수는? [[eqn: 4.4]점]

③

① [eqn: 6]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2]

그림은 함수 [eqn: f(x)=-x ^{3`} +ax ^{2} +bx+c]의 도함수 [eqn: y=f`'(x)]의 그래프이다. 함수 [eqn: f(x )]의 극솟값이 [eqn: -4]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 합 [eqn: a+b+c]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

④

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

구분구적법을 이용하여 반지름의 길이가 [eqn: r]인 반구의 부피 [eqn: V]를 구하는 과정이다. (가), (나), (다)에 알맞은 식은? [[eqn: 4.4]점]

①

위 그림과 같은 반구에서 반지름의 길이 [eqn: r]를 [eqn: n]등분하여, 단면에 평행한 평면으로 잘라 [eqn: (n-1)]개의 원기둥으로 만들었다. 이때 각 원기둥의 높이는 [eqn: box{`````(가)`````}]이므로 밑에서 [eqn: k]번째 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 [eqn: r _{k}]라 하면 [eqn: r _{k} ^{2}= box{`````(나)`````}]이다. 따라서 [eqn: (n-1)]개의 원기둥의 부피의 합을 [eqn: V_{ n}]이라 하면

[eqn: V _{n} = sum _{k=1} ^{n-1} pi TIMES BOX{`````(나)`````} TIMES {r} over {n} ## ````````````= BOX{`````(다)`````}]

이므로 [eqn: V= lim _{n -> INF } {V _{n} = {2} over {3}} pir ^{ 3}]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: r overn]	[eqn: left(1- { k^2} over {n^2 }right)r^2]	[eqn: { pi(n-1)(4n+1)r^3} over { 6n^2}]
②	[eqn: r overn]	[eqn: left(1- { k^2} over {n^2 }right)r^2]	[eqn: {pi (n+1)(4n+1)r ^{3}} over {6n ^{2}}]
③	[eqn: r overn]	[eqn: left(1- { k^2} over {n^2 }right)]	[eqn: {pi (n+1)(4n+1)r } over {6n ^{2}}]
④	[eqn: {kr} over {n}]	[eqn: left(1- { k^2} over {n^2 }right)r^2]	[eqn: {pi (n+1)(4n+1)r ^{3}} over {6n ^{2}}]
⑤	[eqn: {kr ^{2}} over {n}]	[eqn: left(1- { k^2} over {n^2 }right)]	[eqn: { pi(n-1)(4n+1)r^3} over { 6n^2}]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f` prime (x)=3x ^{2}+4x-2]이고, [eqn: y=f(x)]의 그래프가 제[eqn: 3]사분면에서 직선 [eqn: y=2x+1]에 접한다고, 할 때, [eqn: f(0)]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

⑤

① [eqn: -11]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -9]

④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -7]

이차함수 [eqn: f(x)]의 부정적분 중의 하나를 [eqn: F(x)]라고 하자. 함수 [eqn: f(x)]가 조건 (가), (나)를 만족할 때, [eqn: f(1)]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

①

(가) [eqn: 3F(x)=xf(x)-f(x)]

(나) [eqn: f(0)=2]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

곡선 [eqn: y=4x ^{3}-x ^{ 2}]과 직선 [eqn: y=2x+k]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k]값의 범위가 [eqn: a<k< beta]일 때, [eqn: 180 alpha beta]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

②

① [eqn: -85]	② [eqn: -55]	③ [eqn: -18]

④ [eqn: -9]	⑤ [eqn: -1]

두 함수 [eqn: f(x)=x], [eqn: g(x)=x ^{2} -x]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.7]점]

⑤

ㄱ. [eqn: int _{-1} ^{0} {f(x)dx} + int _{ 0} ^{-1 } { f(x)dx=0}]

ㄴ. [eqn: int _{1} ^{2} {{g(x)} over {f(x)} dx} = { int _{1} ^{2} {g(x)dx}} over { int _{ 1} ^{2 } { f(x)dx} }]

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)g(x)dx=LEFT{ int _{0} ^{1} {f(x)dx}RIGHT } left{int _{ 0} ^{1 } {g(x)dx }right}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{ 2}-3]과 [eqn: y= -2x ^{ 2}+1]로 둘러싸인 영역에 네 변이 각각 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에 평행한 직사각형을 내접시킨다. 이 직사각형의 넓이의 최댓값을 [eqn: { q} over {p }]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이고 [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수) [[eqn: 4.9]점]

③

① [eqn: 39]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 41]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 43]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +2x-1]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때,
[eqn: int _{-1} ^{11} {g(x)dx}]의 값은? [[eqn: 4.9]점]

①

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 각각 [eqn: t ^{2} -5t], [eqn: t ^{3} -5t ^{2} +3t]이다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리의 최댓값은? (단, [eqn: 0 LEQ t LEQ 4]) [[eqn: 4.9]점]

①

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 64]

[eqn: a>0]에 대하여 다항함수 [eqn: f(x)]가 조건 (가), (나)를 만족한다.

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.9점]

(가) [eqn: f(0)=0], [eqn: f(a)>0]

(나) [eqn: 0<x<y<a`]인 모든 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여

[eqn: 0<xf(y)<yf(x)]

⑤

ㄱ. [eqn: int _{0} ^{a} {f(x)dx LEQ { af(a)} over {2 }]

ㄴ. [eqn: 0LEQt LEQ1]에 대하여 [eqn: tf(a) LEQ f(ta)]가 성립한다.

ㄷ. [eqn: int _{ 0} ^{a } {f(t)dt = af(x) }]를 만족하는 [eqn: x]가 구간 [eqn: [0,```a]]에

존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

서술형

함수 [eqn: f(x)= x ^{ 3}+ax ^{ 2}+bx+c]가 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: 10]을 가지고, [eqn: x=4]에서 극솟값을 가진다고 할 때, 극솟값을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [6.0점]

[eqn: -22]

다항함수 [eqn: f(x)]가 조건 (가), (나)를 만족할 때, 함수 [eqn: f(x)]를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [[eqn: 6.0]점]

[eqn: x ^{5} -2x ^{3} +3x ^{2} +x-2]

① [eqn: f(x)=x ^{5} -2x ^{3} +3x ^{2} +x+C]

② [eqn: int _{-2} ^{2} f(x)dx=8]에서 [eqn: int _{-2} ^{2} (3x ^{2} +C)dx=8]

(가) [eqn: f`'(x)=5x ^{4} -6x ^{2} +6x+1]

(나) [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n}} sum _{k=1} ^{n}f left(-2+ { 4k} over {n }right)=2]

원점을 지나는 다항함수 [eqn: f(x)]가 등식
[eqn: int _{ 0} ^{ x} { f(t)dt=4x ^{ 3}-2x + int _{ 0} ^{1 } {(3x ^{ 2}-2xt)f(t)dt } }]
을 만족할 때, 함수 [eqn: f(x)]를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [[eqn: 8.0]점]

[eqn: f(x)=12x ^{2} -12x]

[eqn: f(x)=12x ^{2} -2+6x int_0 ^1 f(t)dt-2int_0 ^1 tf(t)dt]에서

[2016년 백석고]

[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

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